Giải Luyện tập 4 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại: Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian $Oxyz$ có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $A,\,B,\,C$ không đồng thời bằng $0$. Đặc điểm: mỗi biến $x,\,y,\,z$ chỉ xuất hiện ở bậc nhất, không có lũy thừa bậc cao và không có tích của các biến.

a) $x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 1 = 0$.

Các biến $x,\,y,\,z$ đều ở bậc hai (có $x^2,\,y^2,\,z^2$), không phải bậc nhất. Do đó đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

b) $\dfrac{x}{2} - y + \dfrac{z}{3} + 5 = 0$.

Có thể viết lại thành $\dfrac{1}{2}x + (-1)y + \dfrac{1}{3}z + 5 = 0$, tức là dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ với
$$A = \dfrac{1}{2},\quad B = -1,\quad C = \dfrac{1}{3},\quad D = 5.$$
Các biến đều ở bậc nhất và $A,\,B,\,C$ không đồng thời bằng $0$. Vậy đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng (mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \left(\dfrac{1}{2};\,-1;\,\dfrac{1}{3}\right)$).

c) $xy + 5 = 0$.

Có chứa tích $xy$ của hai biến (bậc hai), không phải dạng bậc nhất theo từng biến. Do đó đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

Kết luận: Chỉ có phương trình ở ý b) là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.

Đáp số