Giải Hoạt động 4 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

a) Vì $\vec{n} = (A; B; C)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ nên $\vec{n}$ vuông góc với mọi vectơ nằm trong $(\alpha)$.

Điểm $M_0$ thuộc $(\alpha)$, do đó khi $M$ cũng thuộc $(\alpha)$ thì vectơ $\overrightarrow{M_0M}$ nằm trong (song song hoặc chứa trong) mặt phẳng $(\alpha)$, suy ra $\overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n}$.

Ngược lại, nếu $\overrightarrow{M_0M} \perp \vec{n}$ (kể cả trường hợp $\overrightarrow{M_0M} = \vec{0}$, tức $M \equiv M_0$) thì vì $M_0 \in (\alpha)$ nên $M$ thuộc $(\alpha)$.

Vậy: $M(x; y; z) \in (\alpha) \Leftrightarrow \vec{n} \perp \overrightarrow{M_0M}$, tức là hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_0M}$ vuông góc với nhau, tương đương $\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$.

b) Ta có toạ độ của vectơ $\overrightarrow{M_0M}$:
$$\overrightarrow{M_0M} = (x - x_0;\ y - y_0;\ z - z_0).$$

Theo câu a), $M \in (\alpha) \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$. Sử dụng biểu thức toạ độ của tích vô hướng:
$$\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0).$$

Vậy điểm $M(x; y; z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức:
$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.$$

Đáp số