Giải Bài 4.35 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập mô hình.

Mặt trong của bình là mặt tròn xoay sinh ra khi quay đồ thị hàm số
$$y=f(x)=\dfrac{1}{175}x^2+\dfrac{3}{35}x+5,\quad 0\le x\le 30$$
quanh trục $Ox$. Tại vị trí $x$, bán kính thành trong của bình là $f(x)$.

Vì bình có độ dày không đổi bằng $1$ cm nên tại vị trí $x$, bán kính thành ngoài là $f(x)+1$.

Thể tích đất sét.

Lượng đất sét cần dùng chính là thể tích khối nằm giữa mặt ngoài và mặt trong của bình. Áp dụng công thức thể tích vật tròn xoay:
$$V=\pi\int_0^{30}\big[(f(x)+1)^2-\big(f(x)\big)^2\big]\,dx=\pi\int_0^{30}\big[2f(x)+1\big]\,dx.$$

Ta có
$$2f(x)+1=\dfrac{2}{175}x^2+\dfrac{6}{35}x+10+1=\dfrac{2}{175}x^2+\dfrac{6}{35}x+11.$$

Tính tích phân.

$$\int_0^{30}\dfrac{2}{175}x^2\,dx=\dfrac{2}{175}\cdot\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^{30}=\dfrac{2}{175}\cdot 9000=\dfrac{18000}{175}.$$

$$\int_0^{30}\dfrac{6}{35}x\,dx=\dfrac{6}{35}\cdot\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^{30}=\dfrac{6}{35}\cdot 450=\dfrac{2700}{35}=\dfrac{13500}{175}.$$

$$\int_0^{30}11\,dx=11\cdot 30=330.$$

Cộng lại:
$$\int_0^{30}\big[2f(x)+1\big]\,dx=\dfrac{18000+13500}{175}+330=\dfrac{31500}{175}+330=180+330=510.$$

Do đó
$$V=510\pi\approx 1602{,}2\ (\text{cm}^3).$$

Kết luận. Để hoàn thành bình gốm cần khoảng $510\pi\approx 1602{,}2$ cm³ đất sét.

Kiểm tra lại: $\dfrac{31500}{175}=180$ đúng; $180+330=510$; $510\pi=1602{,}212\ldots\approx 1602{,}2$ cm³.

Đáp số