Giải Bài 4.34 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

a) Hình phẳng giới hạn bởi $y=1-x^2$, $y=0$ (trục $Ox$), $x=-1$, $x=1$.

Thể tích khối tròn xoay quay quanh $Ox$:
$$V_a=\pi\int_{-1}^{1}\big(1-x^2\big)^2\,dx=\pi\int_{-1}^{1}\big(1-2x^2+x^4\big)\,dx.$$

Hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên:
$$V_a=2\pi\int_{0}^{1}\big(1-2x^2+x^4\big)\,dx=2\pi\left[x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right]_0^1.$$

Thay cận:
$$V_a=2\pi\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right)=2\pi\cdot\frac{15-10+3}{15}=2\pi\cdot\frac{8}{15}=\frac{16\pi}{15}.$$

Vậy $V_a=\dfrac{16\pi}{15}\approx 3,35$ (đơn vị thể tích).

b) Hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{25-x^2}$, $y=0$, $x=2$, $x=4$.

Trên $[2;4]$ ta có $y=\sqrt{25-x^2}\ge 0$ nên $y^2=25-x^2$. Thể tích khối tròn xoay quay quanh $Ox$:
$$V_b=\pi\int_{2}^{4}\big(\sqrt{25-x^2}\big)^2\,dx=\pi\int_{2}^{4}\big(25-x^2\big)\,dx.$$

Tính tích phân:
$$V_b=\pi\left[25x-\frac{x^3}{3}\right]_2^4=\pi\left[\left(100-\frac{64}{3}\right)-\left(50-\frac{8}{3}\right)\right].$$

Ta có $100-\dfrac{64}{3}=\dfrac{236}{3}$ và $50-\dfrac{8}{3}=\dfrac{142}{3}$, do đó:
$$V_b=\pi\cdot\frac{236-142}{3}=\pi\cdot\frac{94}{3}=\frac{94\pi}{3}.$$

Vậy $V_b=\dfrac{94\pi}{3}\approx 98,44$ (đơn vị thể tích).

Đáp số