Giải Bài 4.31 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Con cá bơi ngược dòng với vận tốc $v(t)=-\dfrac{2t}{5}+4$ (km/h). Nó chỉ còn tiến lên được chừng nào vận tốc còn dương. Khi vận tốc giảm về $0$, con cá không thể bơi xa hơn nữa, nên đó chính là thời điểm nó đạt khoảng cách xa nhất.

Bước 1. Tìm thời điểm cá dừng lại (vận tốc bằng $0$).

$$v(t)=0 \;\Leftrightarrow\; -\frac{2t}{5}+4=0 \;\Leftrightarrow\; \frac{2t}{5}=4 \;\Leftrightarrow\; t=10 \text{ (giờ)}.$$

Với $0\le t\le 10$ thì $v(t)\ge 0$, nên trên khoảng thời gian này con cá luôn tiến về phía trước.

Bước 2. Tính khoảng cách xa nhất.

Quãng đường đi được bằng tích phân của vận tốc theo thời gian từ lúc bắt đầu $t=0$ đến lúc dừng $t=10$:

$$s=\int_{0}^{10} v(t)\,dt=\int_{0}^{10}\left(-\frac{2t}{5}+4\right)dt.$$

Ta có nguyên hàm:

$$\int\left(-\frac{2t}{5}+4\right)dt=-\frac{t^{2}}{5}+4t+C.$$

Do đó:

$$s=\left[-\frac{t^{2}}{5}+4t\right]_{0}^{10}=\left(-\frac{10^{2}}{5}+4\cdot 10\right)-0=-20+40=20 \text{ (km)}.$$

Kiểm tra lại. Đồ thị của $v(t)$ là đoạn thẳng đi từ $v(0)=4$ xuống $v(10)=0$; quãng đường bằng diện tích tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $10$ (giờ) và $4$ (km/h): $\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20$ (km). Kết quả trùng khớp.

Kết luận. Khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là $20$ km.

Đáp số