Giải Bài 4.29 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

Ta có $f(x)=2\cos x+\dfrac{1}{\sin^2 x}$.

Bước 1. Tìm họ nguyên hàm.

Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản:

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x,\qquad \int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x.$$

Do đó

$$F(x)=\int\left(2\cos x+\dfrac{1}{\sin^2 x}\right)dx = 2\sin x-\cot x + C.$$

Bước 2. Dùng điều kiện $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$ để tìm $C$.

Với $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $\cot\dfrac{\pi}{4}=1$, ta có

$$F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1+C=\sqrt{2}-1+C.$$

Theo giả thiết $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$ nên

$$\sqrt{2}-1+C=-1\;\Rightarrow\; C=-\sqrt{2}.$$

Bước 3. Kết luận.

$$F(x)=2\sin x-\cot x-\sqrt{2}.$$

Kiểm tra lại: $F'(x)=2\cos x-\left(-\dfrac{1}{\sin^2 x}\right)=2\cos x+\dfrac{1}{\sin^2 x}=f(x)$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}=-1$ (thoả mãn).

Đáp số