Giải Bài 4.24 trang 28 SGK Toán 12

Lời giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính bởi công thức:
$$S=\int_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx.$$

Đặt $f(x)=-x^{2}+4x$ và $g(x)=x^{2}-2x$, với $a=0$, $b=3$.

Xét dấu hiệu số $f(x)-g(x)$ trên đoạn $[0;3]$:
$$f(x)-g(x)=(-x^{2}+4x)-(x^{2}-2x)=-2x^{2}+6x=-2x(x-3).$$
Với mọi $x\in[0;3]$ thì $x\ge 0$ và $x-3\le 0$, nên $-2x(x-3)\ge 0$. Do đó $\left|f(x)-g(x)\right|=-2x^{2}+6x$ trên $[0;3]$.

Tính diện tích:
$$S=\int_{0}^{3}\left(-2x^{2}+6x\right)dx=\left[-\dfrac{2x^{3}}{3}+3x^{2}\right]_{0}^{3}.$$
Thay cận:
$$S=\left(-\dfrac{2\cdot 27}{3}+3\cdot 9\right)-0=-18+27=9.$$

Vậy diện tích hình phẳng bằng $9$ (đơn vị diện tích). Diện tích luôn là số dương nên các đáp án âm bị loại; kết quả khớp với đáp án B.

Đáp số