Giải Hoạt động 4 trang 25 SGK Toán 12
Đề bài
Nhận biết công thức tính thể tích của khối tròn xoay
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{1}{2}x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 4$. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành $Ox$ ta được khối nón có đỉnh là gốc $O$, trục là $Ox$ và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).
a) Tính thể tích $V$ của khối nón.
b) Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $x$ ($0 \le x \le 4$) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là $f(x)$, do đó diện tích mặt cắt là $S(x) = \pi f^2(x)$.
Tính $\pi \int_{0}^{4} f^2(x)\,dx$ và so sánh với $V$.
Mô tả hình bằng lời
Hình 4.25: Hệ trục toạ độ Oxy. Đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$ đi qua gốc O, tại $x=4$ đạt $y=2$. Hình phẳng tam giác giới hạn bởi đường thẳng này, trục hoành và đường thẳng x=4 (đỉnh O, đáy đứng tại x=4 cao từ 0 đến 2). Khi quay quanh Ox tạo khối nón: đỉnh tại O, đáy là hình tròn bán kính 2 tại x=4. Trục tung chia vạch từ -2 đến 2, trục hoành chia vạch từ 1 đến 5. Có mặt cắt hình tròn (đường tròn nét đứt) tại vị trí x nằm giữa 2 và 3.
Lời giải
a) Tính thể tích $V$ của khối nón.
Khi quay hình phẳng quanh trục $Ox$, ta được khối nón có:
- Bán kính đáy: $r = f(4) = \dfrac{1}{2}\cdot 4 = 2$.
- Chiều cao: $h = 4$ (khoảng cách từ đỉnh $O$ đến mặt đáy tại $x = 4$).
Áp dụng công thức thể tích khối nón:
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 4 = \frac{16\pi}{3}.$$
b) Tính $\pi\displaystyle\int_{0}^{4} f^2(x)\,dx$ và so sánh với $V$.
Ta có $f(x) = \dfrac{1}{2}x$ nên $f^2(x) = \dfrac{1}{4}x^2$. Do đó:
$$\pi\int_{0}^{4} f^2(x)\,dx = \pi\int_{0}^{4} \frac{1}{4}x^2\,dx = \frac{\pi}{4}\int_{0}^{4} x^2\,dx = \frac{\pi}{4}\cdot\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4}.$$
Tính tiếp:
$$= \frac{\pi}{4}\cdot\frac{4^3}{3} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{64}{3} = \frac{16\pi}{3}.$$
So sánh: $\pi\displaystyle\int_{0}^{4} f^2(x)\,dx = \frac{16\pi}{3} = V.$
Vậy thể tích khối nón đúng bằng $\pi\displaystyle\int_{0}^{4} f^2(x)\,dx$. Điều này gợi ý công thức tính thể tích khối tròn xoay: $V = \pi\displaystyle\int_{a}^{b} f^2(x)\,dx$.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.