Giải Hoạt động 3 trang 23 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính thể tích $V$ của hình trụ.

Hình trụ có bán kính đáy $R$ và nằm giữa hai mặt phẳng $x = a$, $x = b$ nên có chiều cao (độ dài đường sinh):
$$h = b - a.$$

Áp dụng công thức thể tích hình trụ:
$$V = \pi R^2 \cdot h = \pi R^2 (b - a).$$

b) Tính $S(x)$, tính $\int_a^b S(x)\,dx$ và so sánh với $V$.

Khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ (với $a \le x \le b$), mặt cắt là một hình tròn có bán kính bằng bán kính đáy $R$. Do đó diện tích mặt cắt không phụ thuộc vào $x$:
$$S(x) = \pi R^2, \quad a \le x \le b.$$

Từ đó:
$$\int_a^b S(x)\,dx = \int_a^b \pi R^2\,dx = \pi R^2 \big[\,x\,\big]_a^b = \pi R^2 (b - a).$$

So sánh: Ta thấy
$$\int_a^b S(x)\,dx = \pi R^2 (b - a) = V.$$

Vậy thể tích hình trụ đúng bằng tích phân của diện tích mặt cắt $S(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Điều này gợi ý công thức tính thể tích vật thể:
$$V = \int_a^b S(x)\,dx.$$

Đáp số