Giải Câu hỏi trang 77 SGK Toán 12

Lời giải

Kí hiệu. Gọi mẫu số liệu gốc có giá trị nhỏ nhất là $x_{\min}$ và giá trị lớn nhất là $x_{\max}$. Khi đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là
$$R_{\text{gốc}} = x_{\max} - x_{\min}.$$
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm (Bảng 3.1) là $R = a_{k+1} - a_1$.

Bước 1. Đánh giá $x_{\min}$.
Vì tần số $m_1 > 0$ nên nhóm đầu tiên $[a_1; a_2)$ chứa ít nhất một giá trị của mẫu, tức là giá trị nhỏ nhất $x_{\min}$ nằm trong nhóm này. Do đó
$$a_1 \le x_{\min} < a_2 \;\Rightarrow\; x_{\min} \ge a_1.$$

Bước 2. Đánh giá $x_{\max}$.
Vì tần số $m_k > 0$ nên nhóm cuối cùng $[a_k; a_{k+1})$ chứa ít nhất một giá trị của mẫu, tức là giá trị lớn nhất $x_{\max}$ nằm trong nhóm này. Do đó
$$a_k \le x_{\max} < a_{k+1} \;\Rightarrow\; x_{\max} < a_{k+1}.$$

Bước 3. So sánh hai khoảng biến thiên.
Từ $x_{\max} < a_{k+1}$ và $x_{\min} \ge a_1$ (suy ra $-x_{\min} \le -a_1$), cộng vế theo vế ta được
$$x_{\max} - x_{\min} < a_{k+1} - a_1,$$
nghĩa là
$$R_{\text{gốc}} < R.$$

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm luôn lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc (đpcm).

*Nhận xét:* Dấu bất đẳng thức là nghiêm ngặt vì đầu mút phải $a_{k+1}$ không thuộc nhóm cuối, nên chắc chắn $x_{\max} < a_{k+1}$; điều này giải thích vì sao khoảng biến thiên ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ (thường lớn hơn) cho độ phân tán của mẫu gốc.

Đáp số