Giải Bài 2.39 trang 75 SGK Toán 12

Lời giải

Nhận xét về cấu trúc hình hộp.

Hình hộp $OABC.O'A'B'C'$ có mặt đáy dưới là hình bình hành $OABC$, mặt đáy trên là hình bình hành $O'A'B'C'$, và các cạnh bên $OO'$, $AA'$, $BB'$, $CC'$ song song và bằng nhau.

Đỉnh $O$ là gốc toạ độ nên $O(0;0;0)$. Ta đã biết $A(2;3;1)$, $C(-1;2;3)$, $O'(1;-2;2)$. Cần tìm $B$, $A'$, $B'$, $C'$.

a) Tìm đỉnh $B$.

Vì $OABC$ là hình bình hành (các đỉnh ghi theo thứ tự), nên $O$ và $B$ là hai đỉnh đối, suy ra
$$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}.$$
Do $O$ là gốc toạ độ nên
$$\vec{OB} = (2;3;1) + (-1;2;3) = (1;5;4).$$
Vậy $B(1;5;4)$.

b) Xác định vectơ cạnh bên.

Cạnh bên có vectơ chỉ phương
$$\vec{OO'} = O' - O = (1;-2;2).$$
Vì $OO'$, $AA'$, $BB'$, $CC'$ bằng và cùng hướng nên
$$\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{OO'} = (1;-2;2).$$

c) Tìm $A'$.
$$A' = A + \vec{OO'} = (2+1;\,3-2;\,1+2) = (3;1;3).$$
Vậy $A'(3;1;3)$.

d) Tìm $B'$.
$$B' = B + \vec{OO'} = (1+1;\,5-2;\,4+2) = (2;3;6).$$
Vậy $B'(2;3;6)$.

e) Tìm $C'$.
$$C' = C + \vec{OO'} = (-1+1;\,2-2;\,3+2) = (0;0;5).$$
Vậy $C'(0;0;5)$.

Kiểm tra lại. Mặt đáy trên $O'A'B'C'$ phải là hình bình hành, tức $\vec{O'B'} = \vec{O'A'} + \vec{O'C'}$.
- $\vec{O'A'} = (3-1;\,1+2;\,3-2) = (2;3;1) = \vec{OA}$ ✓
- $\vec{O'C'} = (0-1;\,0+2;\,5-2) = (-1;2;3) = \vec{OC}$ ✓
- $\vec{O'A'} + \vec{O'C'} = (1;5;4)$; còn $\vec{O'B'} = (2-1;\,3+2;\,6-2) = (1;5;4)$ ✓

Các điều kiện đều thoả mãn, kết quả chính xác.

Kết luận: $O(0;0;0)$, $B(1;5;4)$, $A'(3;1;3)$, $B'(2;3;6)$, $C'(0;0;5)$.

Đáp số