Giải Bài 2.28 trang 74 SGK Toán 12

Lời giải

Ta biểu diễn các vectơ theo ba vectơ cạnh cùng xuất phát từ đỉnh $A$ là $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$.

Tính các tích vô hướng cơ sở.
Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên mỗi vectơ có độ dài $a$ và góc giữa hai cạnh bất kì (như $\widehat{BAC}$, $\widehat{BAD}$) đều bằng $60^\circ$ (do các mặt là tam giác đều). Do đó:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\cos 60^\circ = a\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{a^2}{2}.$$

Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$.
Vì $M$ là trung điểm $CD$ nên theo quy tắc trung điểm:
$$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right).$$

Tính tích vô hướng cần tìm.
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\cdot\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right).$$
Thay số:
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot a^2=\dfrac{a^2}{2}.$$

Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=\dfrac{a^2}{2}$. Chọn đáp án B.

Đáp số