Giải Bài 2.21 trang 73 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Toạ độ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$ và chứng minh $M$, $N$, $P$ không thẳng hàng

Ta có:

$$\overrightarrow{MN} = (4-(-4);\, -4-3;\, 2-3) = (8; -7; -1).$$

$$\overrightarrow{MP} = (3-(-4);\, 6-3;\, -1-3) = (7; 3; -4).$$

Ba điểm $M$, $N$, $P$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ cùng phương, tức là các toạ độ tương ứng tỉ lệ với nhau.

Xét: $\dfrac{8}{7} \ne \dfrac{-7}{3}$ nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm $M$, $N$, $P$ không thẳng hàng (đpcm).

## b) Toạ độ $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP}$ và tìm điểm $Q$

Ta có:

$$\overrightarrow{NM} = (-4-4;\, 3-(-4);\, 3-2) = (-8; 7; 1),$$

$$\overrightarrow{NP} = (3-4;\, 6-(-4);\, -1-2) = (-1; 10; -3).$$

Do đó:

$$\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP} = (-8+(-1);\, 7+10;\, 1+(-3)) = (-9; 17; -2).$$

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành khi và chỉ khi $M$, $N$, $P$ không thẳng hàng (đã có ở câu a) và $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{NQ}$ (quy tắc hình bình hành: từ đỉnh $N$, hai cạnh $NM$ và $NP$ có tổng bằng đường chéo $NQ$).

Suy ra $\overrightarrow{NQ} = (-9; 17; -2)$. Gọi $Q(x; y; z)$, ta có:

$$\overrightarrow{NQ} = (x-4;\, y+4;\, z-2) = (-9; 17; -2)$$

$$\Rightarrow \begin{cases} x-4 = -9 \\ y+4 = 17 \\ z-2 = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -5 \\ y = 13 \\ z = 0 \end{cases}$$

Vậy $Q(-5; 13; 0)$.

*(Kiểm tra: $\overrightarrow{QP} = (3-(-5);\, 6-13;\, -1-0) = (8; -7; -1) = \overrightarrow{MN}$, đúng là hình bình hành.)*

## c) Chu vi hình bình hành $MNPQ$

Độ dài hai cạnh kề:

$$MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{8^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64+49+1} = \sqrt{114},$$

$$NP = |\overrightarrow{NP}| = \sqrt{(-1)^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+100+9} = \sqrt{110}.$$

Chu vi hình bình hành:

$$C = 2(MN + NP) = 2\left(\sqrt{114} + \sqrt{110}\right) \approx 42{,}33.$$

Đáp số