Giải Luyện tập 4 trang 71 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính chu vi tam giác $ABC$.

Ta tìm tọa độ các vectơ cạnh:

$$\overrightarrow{AB} = (3-0;\ -2-2;\ 1-1) = (3;\ -4;\ 0)$$

$$\overrightarrow{AC} = (-2-0;\ 5-2;\ 7-1) = (-2;\ 3;\ 6)$$

$$\overrightarrow{BC} = (-2-3;\ 5+2;\ 7-1) = (-5;\ 7;\ 6)$$

Độ dài các cạnh:

$$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2+(-4)^2+0^2} = \sqrt{25} = 5$$

$$AC = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2+3^2+6^2} = \sqrt{49} = 7$$

$$BC = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2+7^2+6^2} = \sqrt{110}$$

Chu vi tam giác $ABC$ là:

$$AB + AC + BC = 5 + 7 + \sqrt{110} = 12 + \sqrt{110} \approx 22{,}49.$$

b) Tính $\widehat{BAC}$.

Góc $\widehat{BAC}$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Ta có:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\cdot(-2) + (-4)\cdot 3 + 0\cdot 6 = -6 - 12 + 0 = -18.$$

Do đó:

$$\cos\widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|} = \frac{-18}{5\cdot 7} = \frac{-18}{35} \approx -0{,}514.$$

Suy ra:

$$\widehat{BAC} \approx 120{,}95^\circ \approx 120^\circ 57'.$$

Đáp số