Giải Bài 2.18 trang 66 SGK Toán 12

Lời giải

Vì $OABC.O'A'B'C'$ là hình hộp và điểm $O$ là gốc toạ độ nên $O(0;0;0)$.

a) Xác định toạ độ điểm $C$.

Mặt đáy $OABC$ là một hình bình hành với các đỉnh theo thứ tự $O,\,A,\,B,\,C$. Do đó hai cạnh $AB$ và $OC$ song song và bằng nhau, nghĩa là:
$$\vec{OC} = \vec{AB}.$$

Ta có:
$$\vec{AB} = (0-1;\ 3-1;\ 0-(-1)) = (-1;\ 2;\ 1).$$

Mà $\vec{OC} = (x_C;\ y_C;\ z_C)$, suy ra:
$$x_C = -1,\quad y_C = 2,\quad z_C = 1.$$

Vậy $C(-1;\ 2;\ 1)$.

*Kiểm tra:* Trung điểm đường chéo $OB$ là $\left(0;\tfrac{3}{2};0\right)$; trung điểm đường chéo $AC$ là $\left(\tfrac{1+(-1)}{2};\tfrac{1+2}{2};\tfrac{-1+1}{2}\right)=\left(0;\tfrac{3}{2};0\right)$. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên $OABC$ đúng là hình bình hành.

b) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Các cạnh bên của hình hộp bằng nhau và cùng hướng, nên:
$$\vec{OO'} = \vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'}.$$

Ta đã biết $C(-1;2;1)$ và $C'(2;-3;6)$, do đó vectơ cạnh bên là:
$$\vec{CC'} = (2-(-1);\ -3-2;\ 6-1) = (3;\ -5;\ 5).$$

Gọi $\vec{u}=\vec{CC'}=(3;-5;5)$. Khi đó:

- $O' = O + \vec{u} = (0+3;\ 0-5;\ 0+5) = (3;\ -5;\ 5).$
- $A' = A + \vec{u} = (1+3;\ 1-5;\ -1+5) = (4;\ -4;\ 4).$
- $B' = B + \vec{u} = (0+3;\ 3-5;\ 0+5) = (3;\ -2;\ 5).$

*Kiểm tra:* $C + \vec{u} = (-1+3;\ 2-5;\ 1+5) = (2;-3;6) = C'$ đúng như đề cho.

Vậy các đỉnh còn lại của hình hộp là:
$$C(-1;2;1),\quad O'(3;-5;5),\quad A'(4;-4;4),\quad B'(3;-2;5).$$

Đáp số