Giải Hoạt động 3 trang 63 SGK Toán 12

Lời giải

Giải thích sự tồn tại của bộ ba số $(x; y; z)$:

Lấy điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.

Bước 1 — Chiếu $M$ xuống mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$.

Gọi $M'$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$. Theo quy tắc ba điểm, ta có:
$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM'} + \overrightarrow{M'M}.$$

Bước 2 — Phân tích $\overrightarrow{OM'}$ theo $\vec{i}$ và $\vec{j}$.

Điểm $M'$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Trong mặt phẳng này, hai vectơ đơn vị $\vec{i}$ (trên trục $Ox$) và $\vec{j}$ (trên trục $Oy$) không cùng phương, nên chúng lập thành một cơ sở. Do đó tồn tại hai số $x$, $y$ để:
$$\overrightarrow{OM'} = x\vec{i} + y\vec{j}.$$

Bước 3 — Phân tích $\overrightarrow{M'M}$ theo $\vec{k}$.

Vì $M'$ là hình chiếu của $M$ trên $(Oxy)$ nên đường thẳng $M'M$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$, tức là $\overrightarrow{M'M}$ cùng phương với vectơ đơn vị $\vec{k}$ (trên trục $Oz$). Vậy tồn tại số $z$ để:
$$\overrightarrow{M'M} = z\vec{k}.$$

Bước 4 — Kết luận.

Thay vào đẳng thức ở Bước 1:
$$\vec{a} = \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM'} + \overrightarrow{M'M} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$$

Như vậy, với mọi vectơ $\vec{a}$ trong không gian $Oxyz$, luôn tồn tại bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Hơn nữa, do $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ đôi một vuông góc (không đồng phẳng) nên cách phân tích này là duy nhất. Bộ ba $(x; y; z)$ được gọi là toạ độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ toạ độ $Oxyz$. (đpcm)

Đáp số