Giải Luyện tập 3 trang 63 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại bối cảnh Ví dụ 3. Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ được đặt vào hệ trục $Oxyz$ sao cho đỉnh $A'$ trùng với gốc $O$; ba cạnh xuất phát từ $A'$ nằm trên ba trục toạ độ: $D'$ thuộc tia $Ox$, $B'$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$. Theo Ví dụ 3 thì $A'(0;0;0)$, $D'(2;0;0)$, $B'(0;3;0)$, $A(0;0;5)$ và $C(2;3;5)$.

Toạ độ một điểm $M$ chính là toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$. Vì $A'\equiv O$ nên mỗi mặt của hình hộp đi qua $A'$ là một hình chữ nhật nhận $O$ làm một đỉnh, do đó ta dùng quy tắc hình bình hành (đường chéo bằng tổng hai cạnh kề).

a) Điểm $B$. Xét mặt bên $A'B'BA$ là hình chữ nhật có đỉnh $A'\equiv O$, hai cạnh kề là $\overrightarrow{OB'}$ và $\overrightarrow{OA}$. Đường chéo $OB$ thoả mãn
$$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OA}=(0;3;0)+(0;0;5)=(0;3;5).$$
$$\Rightarrow B(0;3;5).$$

b) Điểm $D$. Xét mặt bên $A'D'DA$ là hình chữ nhật có đỉnh $A'\equiv O$, hai cạnh kề là $\overrightarrow{OD'}$ và $\overrightarrow{OA}$. Khi đó
$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OD'}+\overrightarrow{OA}=(2;0;0)+(0;0;5)=(2;0;5).$$
$$\Rightarrow D(2;0;5).$$

c) Điểm $C'$. Xét mặt đáy trên $A'B'C'D'$ là hình chữ nhật có đỉnh $A'\equiv O$, hai cạnh kề là $\overrightarrow{OD'}$ và $\overrightarrow{OB'}$. Đường chéo $OC'$ thoả mãn
$$\overrightarrow{OC'}=\overrightarrow{OD'}+\overrightarrow{OB'}=(2;0;0)+(0;3;0)=(2;3;0).$$
$$\Rightarrow C'(2;3;0).$$

Kiểm tra. Các đỉnh trên cùng mặt phẳng đáy $ABCD$ (chứa $A$) đều có cao độ $z=5$: $A(0;0;5)$, $B(0;3;5)$, $D(2;0;5)$, $C(2;3;5)$ — phù hợp vì mặt đáy này song song mặt phẳng $Oxy$ và cách nó một khoảng $AA'=5$. Còn $C'$ nằm trên mặt đáy trên $A'B'C'D'$ (chứa $A'\equiv O$) nên có cao độ $z=0$, đúng với $C'(2;3;0)$. Ngoài ra $C$ và $C'$ có cùng $x,y$ và lệch nhau đúng đoạn $CC'=AA'=5$: $C(2;3;5)$, $C'(2;3;0)$ — nhất quán.

Đáp số