Giải Hoạt động 2 trang 62 SGK Toán 12
Đề bài
Hình thành khái niệm toạ độ của điểm trong không gian
Trong không gian $Oxyz$, cho một điểm $M$ không thuộc các mặt phẳng toạ độ. Vẽ hình hộp chữ nhật $OADB.CFME$ có ba đỉnh $A$, $B$, $C$ lần lượt thuộc các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ (H.2.37).
a) Hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với $x$, $y$, $z$ là các số thực.
Mô tả hình bằng lời
Hình 2.37: Hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$, các trục $Ox$ (hướng ra trước, ký hiệu $x$), $Oy$ (hướng sang phải, ký hiệu $y$), $Oz$ (hướng lên, ký hiệu $z$). Các vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên $Ox$, $\vec{j}$ trên $Oy$, $\vec{k}$ trên $Oz$. Hình hộp chữ nhật $OADB.CFME$: đáy dưới có các đỉnh $O$, $A$ (trên tia $Ox$), $D$, $B$ (trên tia $Oy$); mặt trên có các đỉnh $C$ (trên tia $Oz$), $F$, $M$, $E$. Điểm $M$ là đỉnh đối diện với $O$ của hình hộp, có đường chéo $OM$ (nét đứt màu xanh) nối từ $O$ đến $M$.
Lời giải
a) Xét đáy dưới $OADB$ của hình hộp. Vì $OADB$ là hình chữ nhật nên theo quy tắc hình bình hành:
$$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.$$
Do $OADB.CFME$ là hình hộp chữ nhật, cạnh bên $\overrightarrow{DM}$ song song và bằng $\overrightarrow{OC}$, tức $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{OC}$. Áp dụng quy tắc ba điểm:
$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DM} = \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + \overrightarrow{OC}.$$
Vậy $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$, tức hai vectơ đó bằng nhau. (Đây chính là quy tắc hình hộp.)
b) Vì $A$ thuộc tia $Ox$ nên vectơ $\overrightarrow{OA}$ cùng phương với vectơ đơn vị $\vec{i}$, do đó tồn tại số thực $x$ sao cho $\overrightarrow{OA} = x\vec{i}$. Tương tự, $B$ thuộc tia $Oy$ nên $\overrightarrow{OB} = y\vec{j}$ với $y$ là số thực, và $C$ thuộc tia $Oz$ nên $\overrightarrow{OC} = z\vec{k}$ với $z$ là số thực.
Thay vào kết quả câu a):
$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$$
Vậy luôn có thể viết $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với $x$, $y$, $z$ là các số thực (bộ ba $(x; y; z)$ chính là toạ độ của điểm $M$).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.