Giải Bài 2.11 trang 60 SGK Toán 12

Lời giải

Dữ kiện: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

a) Theo định nghĩa tích vô hướng:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 1 \cdot 1 \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

b) Khai triển tích theo tính chất phân phối, chú ý $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 1$, $\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 1$ và $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$:
$$(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a}^2 - 2\,\vec{a}\cdot\vec{b} + 3\,\vec{b}\cdot\vec{a} - 6\,\vec{b}^2$$
$$= |\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} - 6|\vec{b}|^2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 5.$$

Giá trị gần đúng: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 5 \approx -4{,}29$.

c) Dùng hằng đẳng thức bình phương của tổng hai vectơ:
$$(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\,\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$$
$$= 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 2 + \sqrt{2}.$$

Giá trị gần đúng: $2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41$.

Đáp số