Giải Bài 2.10 trang 60 SGK Toán 12

Lời giải

Lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh $1$ và các cạnh bên vuông góc với đáy, độ dài $2$. Do đó $|\overrightarrow{AA'}|=|\overrightarrow{C'C}|=2$, $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{B'A'}|=1$ và $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ (đường chéo hình vuông cạnh $1$).

a) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{C'C}$

Ta có $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CC'}$ là hai cạnh bên nên cùng hướng, suy ra $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{C'C}=-\overrightarrow{CC'}$ là hai vectơ ngược hướng. Vậy:
$$\left(\overrightarrow{AA'},\,\overrightarrow{C'C}\right)=180^\circ.$$
Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{C'C}=|\overrightarrow{AA'}|\,|\overrightarrow{C'C}|\cos180^\circ=2\cdot2\cdot(-1)=-4.$$

b) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC}$

Vì lăng trụ đều nên cạnh bên $AA'$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, mà $BC$ nằm trong mặt đáy nên $AA'\perp BC$. Do đó:
$$\left(\overrightarrow{AA'},\,\overrightarrow{BC}\right)=90^\circ,$$
$$\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AA'}|\,|\overrightarrow{BC}|\cos90^\circ=2\cdot1\cdot0=0.$$

c) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'A'}$

Do $ABB'A'$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{B'A'}=\overrightarrow{BA}$. Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{B'A'}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{BA}\right)$.

Xét hình vuông $ABCD$: đường chéo $AC$ tạo với cạnh $AB$ góc $\widehat{CAB}=45^\circ$, tức $\left(\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AB}\right)=45^\circ$. Mà $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên:
$$\left(\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{BA}\right)=180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$
Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{B'A'}\right)=135^\circ$ và:
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{B'A'}=|\overrightarrow{AC}|\,|\overrightarrow{B'A'}|\cos135^\circ=\sqrt2\cdot1\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-1.$$

Đáp số