Giải Hoạt động 3 trang 8 SGK Toán 12

Lời giải

Hàm số y = f(x) = x³ − 3x² + 2x + 1 xác định trên ℝ.

a) f'(x) = 3x² − 6x + 2. Giải f'(x) = 0: Δ' = 9 − 6 = 3 > 0, nên x = (3 ± √3)/3 = 1 ± √3/3. Vậy x₁ = (3−√3)/3 ≈ 0,42 và x₂ = (3+√3)/3 ≈ 1,58.

b) Vì f'(x) là tam thức bậc hai có hệ số a = 3 > 0 và hai nghiệm x₁ < x₂ nên f'(x) > 0 trên (−∞; x₁) và (x₂; +∞), f'(x) < 0 trên (x₁; x₂). Tính giá trị cực trị: đặt x = 1 + u thì f = u³ − u + 1, với u = ∓√3/3 ta được f(x₁) = 1 + √3/3·(1 − 1/3) = 1 + 2√3/9 ≈ 1,385 và f(x₂) = 1 − 2√3/9 ≈ 0,615. Bảng biến thiên: trên (−∞; x₁) dấu f' là +, hàm tăng từ −∞ lên 1 + 2√3/9; trên (x₁; x₂) dấu f' là −, hàm giảm xuống 1 − 2√3/9; trên (x₂; +∞) dấu f' là +, hàm tăng lên +∞.

c) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; (3−√3)/3) và ((3+√3)/3; +∞); nghịch biến trên khoảng ((3−√3)/3; (3+√3)/3).

Kiểm tra: f'(0) = 2 > 0, f'(1) = −1 < 0, f'(2) = 2 > 0 — nhất quán với bảng biến thiên. Cả hai lời giải đều cho kết quả đúng và trùng nhau (1 ± √3/3 = (3 ± √3)/3; các giá trị cực trị 1 ± 2√3/9 ≈ 1,38 và 0,62 khớp với xấp xỉ của Lời giải 1). Lời giải 2 đầy đủ hơn vì tính được giá trị cực trị dưới dạng chính xác thay vì chỉ xấp xỉ.

Đáp số