Giải Luyện tập 1 trang 29 SGK Toán 12

Lời giải

## Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = -2x^3 + 3x^2 - 5x$

### 1) Tập xác định
$D = \mathbb{R}$.

### 2) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực:
$$\lim_{x \to -\infty} y = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} y = -\infty.$$

• Đạo hàm:
$$y' = -6x^2 + 6x - 5.$$
Xét tam thức $-6x^2+6x-5$ có $a=-6<0$ và
$$\Delta = 6^2 - 4\cdot(-6)\cdot(-5) = 36 - 120 = -84 < 0.$$
Do $\Delta<0$ và $a<0$ nên $y'<0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

• Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $+\infty$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $y'$ | | $-$ | |
| $y$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $-\infty$ |

### 3) Đồ thị

• Giao với trục tung: $x=0 \Rightarrow y=0$, đồ thị qua gốc $O(0;0)$.

• Giao với trục hoành: $-2x^3+3x^2-5x=0 \Leftrightarrow -x(2x^2-3x+5)=0$. Vì $2x^2-3x+5$ có $\Delta=9-40=-31<0$ (luôn dương) nên phương trình chỉ có nghiệm $x=0$. Đồ thị cắt trục hoành tại duy nhất $O(0;0)$.

• Điểm uốn (tâm đối xứng): $y''=-12x+6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac12$. Với $x=\dfrac12$: $y=-2\cdot\dfrac18+3\cdot\dfrac14-5\cdot\dfrac12=-\dfrac14+\dfrac34-\dfrac52=-2$. Vậy điểm uốn $I\left(\dfrac12;-2\right)$ là tâm đối xứng.

• Một số điểm phụ:

| $x$ | $-1$ | $0$ | $\dfrac12$ | $1$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $y$ | $10$ | $0$ | $-2$ | $-4$ |

• Dạng đồ thị: đường cong bậc ba nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đi qua $(-1;10)$, $O(0;0)$, $I\left(\dfrac12;-2\right)$, $(1;-4)$, nhận $I\left(\dfrac12;-2\right)$ làm tâm đối xứng.

Đáp số