Giải Bài 4.6 trang 12 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Thiết lập nguyên hàm từ hệ số góc tiếp tuyến.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ chính là đạo hàm $f'(x)$, nên
$$f'(x) = k_M = (x-1)^2.$$
Do đó $f(x)$ là một nguyên hàm của $(x-1)^2$:
$$f(x) = \int (x-1)^2\,\mathrm{d}x = \frac{(x-1)^3}{3} + C.$$

Bước 2. Dùng điều kiện để tìm hằng số $C$.

Điểm $M(x; f(x))$ nằm trên trục tung khi $x = 0$. Khi đó $M(0; f(0))$ trùng với gốc toạ độ $O(0;0)$, tức là
$$f(0) = 0.$$
Thay $x = 0$:
$$f(0) = \frac{(0-1)^3}{3} + C = -\frac{1}{3} + C = 0 \;\Rightarrow\; C = \frac{1}{3}.$$

Bước 3. Viết biểu thức $f(x)$ và rút gọn.

$$f(x) = \frac{(x-1)^3}{3} + \frac{1}{3}.$$
Khai triển $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$, ta được
$$f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x}{3} = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x.$$

Bước 4. Kiểm tra lại.

- $f'(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = k_M$ (đúng hệ số góc tiếp tuyến).
- $f(0) = 0$, nên khi $M$ ở trên trục tung thì $M$ trùng gốc toạ độ (thoả điều kiện).

Vậy $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 + x$.

Đáp số