Giải Bài 4.5 trang 12 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Tìm họ nguyên hàm của $f'(x)$.

Vì $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$ nên:
$$f(x) = \int \left(2x + \dfrac{1}{x^2}\right)dx = \int 2x\,dx + \int x^{-2}\,dx.$$

Ta có $\int 2x\,dx = x^2$ và $\int x^{-2}\,dx = \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}$.

Do đó:
$$f(x) = x^2 - \dfrac{1}{x} + C \quad (x \in (0;+\infty)).$$

Bước 2. Xác định hằng số $C$ nhờ điều kiện $f(1)=1$.

$$f(1) = 1^2 - \dfrac{1}{1} + C = 1 - 1 + C = C.$$

Theo giả thiết $f(1)=1$ nên $C = 1$. Vậy:
$$f(x) = x^2 - \dfrac{1}{x} + 1.$$

Bước 3. Tính $f(4)$.

$$f(4) = 4^2 - \dfrac{1}{4} + 1 = 16 - 0{,}25 + 1 = 16{,}75 = \dfrac{67}{4}.$$

Kiểm tra: Với $f(x) = x^2 - \dfrac{1}{x} + 1$ ta có $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}$ (đúng đề) và $f(1) = 1 - 1 + 1 = 1$ (đúng điều kiện). Vậy $f(4) = \dfrac{67}{4} = 16{,}75$.

Đáp số