Giải Luyện tập 7 trang 11 SGK Toán 12

Lời giải

Ta dùng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: $\displaystyle\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ (với $0<a\neq 1$) và $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$.

a) $\displaystyle\int 4^x\,dx=\dfrac{4^x}{\ln 4}+C.$

b) Ta có $\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}=\left(\dfrac{1}{e}\right)^x$.

Áp dụng công thức với $a=\dfrac{1}{e}$:
$$\int \dfrac{1}{e^x}\,dx=\int\left(\dfrac{1}{e}\right)^x dx=\dfrac{\left(\frac{1}{e}\right)^x}{\ln\frac{1}{e}}+C=\dfrac{e^{-x}}{-1}+C=-e^{-x}+C=-\dfrac{1}{e^x}+C.$$

(Kiểm tra: $\left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$, đúng.)

c) Dùng tính chất tuyến tính của nguyên hàm:
$$\int\left(2\cdot 3^x-\dfrac{1}{3}\cdot 7^x\right)dx=2\int 3^x\,dx-\dfrac{1}{3}\int 7^x\,dx=2\cdot\dfrac{3^x}{\ln 3}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{7^x}{\ln 7}+C.$$

Vậy $\displaystyle\int\left(2\cdot 3^x-\dfrac{1}{3}\cdot 7^x\right)dx=\dfrac{2\cdot 3^x}{\ln 3}-\dfrac{7^x}{3\ln 7}+C.$

Đáp số