Giải Hoạt động 7 trang 11 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tính đạo hàm

- Với $F(x)=e^x$: theo công thức đạo hàm hàm mũ, $F'(x)=(e^x)'=e^x$.

- Với $F(x)=\dfrac{a^x}{\ln a}\ (0<a\ne 1)$: vì $(a^x)'=a^x\ln a$ nên
$$F'(x)=\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)'=\frac{(a^x)'}{\ln a}=\frac{a^x\ln a}{\ln a}=a^x.$$

Bảng kết quả:

| $F(x)$ | $e^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}$ |
|---|---|---|
| $F'(x)$ | $e^x$ | $a^x$ |

b) Tìm nguyên hàm

Vì nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm, từ kết quả câu a) ta suy ra:

- $F(x)=e^x$ có $F'(x)=e^x$, do đó $e^x$ là một nguyên hàm của $e^x$:
$$\int e^x\,dx=e^x+C.$$

- $F(x)=\dfrac{a^x}{\ln a}$ có $F'(x)=a^x$, do đó $\dfrac{a^x}{\ln a}$ là một nguyên hàm của $a^x$:
$$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\quad (0<a\ne 1).$$

Bảng kết quả:

| $f(x)$ | $e^x$ | $a^x$ |
|---|---|---|
| $\int f(x)\,dx$ | $e^x+C$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}+C$ |

Kiểm tra: $(e^x+C)'=e^x$ ✓ và $\left(\dfrac{a^x}{\ln a}+C\right)'=a^x$ ✓.

Đáp số