Giải Bài 1.20 trang 26 SGK Toán 12

Lời giải

a) Viết biểu thức chu vi $P(x)$

Gọi $x$ (m) là độ dài một cạnh của mảnh vườn ($x > 0$).

Vì diện tích mảnh vườn bằng $144\ \text{m}^2$ nên cạnh còn lại có độ dài:
$$\frac{144}{x}\ (\text{m}).$$

Do đó chu vi mảnh vườn là:
$$P(x) = 2\left(x + \frac{144}{x}\right) = 2x + \frac{288}{x}, \quad x > 0.$$

b) Tìm các tiệm cận và giải thích ý nghĩa thực tiễn

Xét hàm số $y = P(x) = 2x + \dfrac{288}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

*Tiệm cận đứng:*
$$\lim_{x \to 0^+} P(x) = \lim_{x \to 0^+}\left(2x + \frac{288}{x}\right) = +\infty.$$
Vậy đường thẳng $x = 0$ (trục tung) là tiệm cận đứng của đồ thị.

*Tiệm cận xiên:*

Xét đường thẳng $y = 2x$. Ta có:
$$\lim_{x \to +\infty}\big[P(x) - 2x\big] = \lim_{x \to +\infty}\frac{288}{x} = 0.$$
Vậy đường thẳng $y = 2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to +\infty$).

*Ý nghĩa thực tiễn:*

- Tiệm cận đứng $x = 0$: Khi độ dài một cạnh $x$ càng nhỏ (tiến dần về $0$) thì cạnh còn lại $\dfrac{144}{x}$ càng lớn, khiến mảnh vườn rất dài và hẹp; do đó chu vi $P(x)$ tăng lên vô hạn.

- Tiệm cận xiên $y = 2x$: Khi độ dài cạnh $x$ càng lớn (tiến ra vô cùng) thì cạnh còn lại $\dfrac{144}{x}$ càng nhỏ, mảnh vườn cũng rất dài và hẹp theo chiều $x$; khi đó chu vi $P(x) \approx 2x$, tức là chu vi xấp xỉ hai lần độ dài cạnh $x$.

(Nhận xét thêm: chu vi nhỏ nhất đạt được khi mảnh vườn là hình vuông, $x = \dfrac{144}{x} \Rightarrow x = 12$, khi đó $P = 48\ \text{m}$.)

Đáp số