Giải Hoạt động 7 trang 55 SGK Toán 12

Lời giải

a) Vì $\overrightarrow{OA} = \vec{a} = \overrightarrow{O'A'}$ nên ta có:

$$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'A'} = -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'A'} = \overrightarrow{OO'}.$$

Tương tự, vì $\overrightarrow{OB} = \vec{b} = \overrightarrow{O'B'}$ nên:

$$\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'B'} = -\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'B'} = \overrightarrow{OO'}.$$

Do đó $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}\ (= \overrightarrow{OO'})$. Từ đây:

$$\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = -\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AB}.$$

Vậy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}$ (đpcm).

b) Từ câu a) suy ra độ dài $AB = A'B'$; đồng thời $OA = O'A' = |\vec{a}|$ và $OB = O'B' = |\vec{b}|$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $OAB$:

$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA \cdot OB \cdot \cos\widehat{AOB}.$$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $O'A'B'$:

$$A'B'^2 = O'A'^2 + O'B'^2 - 2\cdot O'A' \cdot O'B' \cdot \cos\widehat{A'O'B'}.$$

Vì $AB = A'B'$, $OA = O'A'$, $OB = O'B'$ nên hai vế phải bằng nhau, dẫn tới:

$$\cos\widehat{AOB} = \cos\widehat{A'O'B'}.$$

Mà số đo các góc trong tam giác nằm trong khoảng $(0^\circ; 180^\circ)$, trên đó hàm côsin đơn điệu, nên $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$ (đpcm).

Đáp số