Giải Luyện tập 4 trang 51 SGK Toán 12

Lời giải

Cách 1 (dùng quy tắc ba điểm để tách vectơ):

Xen điểm $D$ vào $\overrightarrow{AB}$ và xen điểm $B$ vào $\overrightarrow{CD}$:

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}, \qquad \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}.$$

Cộng vế với vế:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \left(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}\right) + \left(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}\right) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD}\right).$$

Vì $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \vec{0}$ nên:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}. \qquad (\text{đpcm})$$

Cách 2 (biến đổi tương đương về hiệu vectơ):

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD}.$$

Áp dụng quy tắc hiệu (hai vectơ chung gốc):

$$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}, \qquad \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}.$$

Hai vế cùng bằng $\overrightarrow{DB}$ nên đẳng thức đúng, suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$. $\qquad (\text{đpcm})$

Đáp số