Giải Hoạt động 3 trang 50 SGK Toán 12
Đề bài
Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Lấy điểm $A$ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Lấy điểm $A'$ khác $A$ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{A'B'} = \vec{a}$, $\overrightarrow{B'C'} = \vec{b}$ (H.2.10).
a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$ và $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$.
b) Giải thích vì sao $AA'C'C$ là hình bình hành, từ đó suy ra $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A'C'}$.
Mô tả hình bằng lời
Hình 2.10: Hình gồm hai hình bình hành ghép trong không gian. Ở dưới là bốn điểm A, A', B', B (với A dưới trái, A' dưới phải, B' phải, B ở giữa) tạo hình bình hành ABB'A'. Phía trên có các điểm C, C'. Vectơ $\vec{a}$ (màu đỏ) hướng theo AB và A'B'; vectơ $\vec{b}$ (màu xanh) hướng theo BC và B'C'. Các đoạn AB, A'B' song song và bằng nhau (bằng $\vec{a}$); BC, B'C' song song và bằng nhau (bằng $\vec{b}$). Đường chéo AC và A'C' được vẽ nét đứt màu đỏ và xanh. Có chú thích: Bốn điểm A, B, A', B' đồng phẳng và tứ giác ABB'A' là hình bình hành.
Lời giải
a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$ và $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$.
Theo cách dựng, ta có $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{A'B'} = \vec{a}$, do đó:
$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}.$$
Hai vectơ bằng nhau, nên biến đổi tương đương:
$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \iff \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BB'}\;\;\text{...}$$
Gọn hơn: từ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}$ ta có $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{BB'} - \overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{BB'}$.
Vậy $\boxed{\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}}$ (tức tứ giác $ABB'A'$ là hình bình hành vì có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}$).
Hoàn toàn tương tự, do $\overrightarrow{BC} = \vec{b} = \overrightarrow{B'C'}$ nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B'C'}$, suy ra tứ giác $BCC'B'$ là hình bình hành và:
$$\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}.$$
b) Giải thích vì sao $AA'C'C$ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A'C'}$.
Từ kết quả câu a):
$$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \quad\text{và}\quad \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}.$$
Suy ra:
$$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CC'}.$$
Hai vectơ $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CC'}$ bằng nhau nên hai đoạn $AA'$ và $CC'$ song song và bằng nhau. Do đó tứ giác $AA'C'C$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên $AA'C'C$ là hình bình hành.
Trong hình bình hành $AA'C'C$, cặp cạnh đối còn lại cũng song song và bằng nhau, nghĩa là $AC \parallel A'C'$ và $AC = A'C'$, hai vectơ cùng hướng, nên:
$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A'C'}.\quad\text{(đpcm)}$$
Nhận xét: kết quả này cho thấy vectơ tổng $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm đầu $A$, nên tổng $\vec{a} + \vec{b}$ được xác định duy nhất.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.