Giải Luyện tập 1 trang 48 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi cạnh hình lập phương là $a$.

a) Hai vectơ có giá cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$

Các điểm $A$, $C$, $D$ đều thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ (là bốn đỉnh mặt trên của hình lập phương).

- Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có giá là đường thẳng $AC$, nằm trong $(ABCD)$.
- Vectơ $\overrightarrow{AD}$ có giá là đường thẳng $AD$, nằm trong $(ABCD)$.
- Vectơ $\overrightarrow{AD'}$ có giá là đường thẳng $AD'$; vì $D'$ không thuộc $(ABCD)$ nên giá này không nằm trong $(ABCD)$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ có giá cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$.

b) Hai vectơ có cùng độ dài

Tính độ dài từng vectơ theo cạnh $a$:

- $\overrightarrow{AD}$ là một cạnh của hình lập phương nên $|\overrightarrow{AD}| = AD = a$.
- $\overrightarrow{AC}$ là đường chéo của mặt vuông $ABCD$ nên $|\overrightarrow{AC}| = AC = a\sqrt{2}$.
- $\overrightarrow{AD'}$ là đường chéo của mặt vuông $ADD'A'$ nên $|\overrightarrow{AD'}| = AD' = a\sqrt{2}$.

So sánh: $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD'}| = a\sqrt{2}$, còn $|\overrightarrow{AD}| = a$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD'}$ có cùng độ dài (bằng $a\sqrt{2}$).

Đáp số