Giải Bài 1.16 trang 26 SGK Toán 12
Đề bài
Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1}$.
Sử dụng đồ thị này, hãy:
a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$; $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$; $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$; $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x)$.
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
Mô tả hình bằng lời
Hình 1.26: Đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2-1}$. Đồ thị có tiệm cận ngang $y = 2$ và hai tiệm cận đứng $x = -1$, $x = 1$. Nhánh giữa (với $-1 < x < 1$) là một cung cong quay bề lõm xuống dưới, đi qua gốc toạ độ $O$ và tiến tới $-\infty$ khi $x \to -1^+$ và $x \to 1^-$. Hai nhánh ngoài (với $|x| > 1$) nằm phía trên đường $y = 2$, tiến tới $+\infty$ khi $x \to -1^-$ và $x \to 1^+$, và tiến dần về đường $y = 2$ khi $x \to \pm\infty$.
Lời giải
Tự giải: Hàm số f(x) = 2x²/(x²-1) xác định trên R \ {-1; 1}.
a) Giới hạn tại vô cực: f(x) = 2/(1 - 1/x²) → 2/(1-0) = 2 khi x → ±∞. Vậy lim(x→-∞) f(x) = 2 và lim(x→+∞) f(x) = 2. Điều này khớp với đồ thị: hai nhánh ngoài tiến dần về đường y = 2.
Giới hạn một phía tại x = 1⁻: tử 2x² → 2 > 0; mẫu x² - 1 = (x-1)(x+1) với x-1 → 0⁻ và x+1 → 2 > 0 nên mẫu → 0⁻. Suy ra lim(x→1⁻) f(x) = -∞, khớp với nhánh giữa của đồ thị đi xuống -∞.
Giới hạn một phía tại x = -1⁺: tử → 2 > 0; mẫu (x-1)(x+1) với x-1 → -2 < 0 và x+1 → 0⁺ nên mẫu → 0⁻. Suy ra lim(x→-1⁺) f(x) = -∞, khớp với đồ thị.
b) Vì lim(x→±∞) f(x) = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang. Vì lim(x→1⁻) f(x) = -∞ (và lim(x→1⁺) f(x) = +∞) nên x = 1 là tiệm cận đứng; vì lim(x→-1⁺) f(x) = -∞ (và lim(x→-1⁻) f(x) = +∞) nên x = -1 là tiệm cận đứng. Đồ thị có ba tiệm cận: y = 2, x = -1, x = 1.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.