Giải Hoạt động 4 trang 8 SGK Toán 12

Lời giải

a) Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$ trên $K$.

Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nên $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$.

Vì $G(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ trên $K$ nên $G'(x) = g(x)$ với mọi $x \in K$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tổng, với mọi $x \in K$ ta có:

$$\big[F(x) + G(x)\big]' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).$$

Như vậy $F(x) + G(x)$ có đạo hàm bằng $f(x) + g(x)$ trên $K$, tức là $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$ trên $K$ (đpcm).

b) Nhận xét về $\int \big[f(x) + g(x)\big]\,dx$ và $\int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$.

Theo câu a), $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$, nên:

$$\int \big[f(x) + g(x)\big]\,dx = F(x) + G(x) + C.$$

Mặt khác:

$$\int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx = \big[F(x) + C_1\big] + \big[G(x) + C_2\big] = F(x) + G(x) + C.$$

Vậy hai kết quả trùng nhau (đều bằng $F(x) + G(x)$ cộng với một hằng số tùy ý). Do đó:

$$\int \big[f(x) + g(x)\big]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.$$

Tức là *nguyên hàm của một tổng bằng tổng các nguyên hàm*.

Đáp số