Giải Bài 1.43 trang 45 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 12$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

Ta có $y' = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x-1)(x-3)$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

- Trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$: $y' < 0$, hàm số nghịch biến.
- Trên khoảng $(1;3)$: $y' > 0$, hàm số đồng biến.

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$, $y_{CT} = y(1) = -1 + 6 - 9 + 12 = 8$; đạt cực đại tại $x = 3$, $y_{CĐ} = y(3) = -27 + 54 - 27 + 12 = 12$.

Giới hạn tại vô cực: $\lim\limits_{x\to-\infty} y = +\infty$; $\lim\limits_{x\to+\infty} y = -\infty$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $3$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | |
| $y$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $8$ | $\nearrow$ | $12$ | $\searrow$ | $-\infty$ |

3. Đồ thị:

- Giao với trục $Oy$: điểm $(0;12)$.
- $y'' = -6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2$, $y(2) = 10$: điểm uốn $U(2;10)$ là tâm đối xứng của đồ thị.

Đồ thị là đường cong bậc ba đi qua $(0;12)$, có điểm cực tiểu $(1;8)$, điểm cực đại $(3;12)$, nhận $U(2;10)$ làm tâm đối xứng.

---

## b) $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

2. Sự biến thiên:

$y' = \dfrac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} = \dfrac{3}{(x+1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -1$.

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$; không có cực trị.

Tiệm cận:

- $\lim\limits_{x\to(-1)^-} y = +\infty$, $\lim\limits_{x\to(-1)^+} y = -\infty$ nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty} y = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $\parallel$ | $+$ | |
| $y$ | $2$ | $\nearrow$ | $+\infty \;\|\; -\infty$ | $\nearrow$ | $2$ |

3. Đồ thị:

- Giao với $Oy$: $(0;-1)$; giao với $Ox$: $\left(\dfrac{1}{2};0\right)$.

Đồ thị là một hypebol gồm hai nhánh nằm hai phía tiệm cận đứng, nhận giao điểm hai tiệm cận $I(-1;2)$ làm tâm đối xứng.

---

## c) $y = \dfrac{x^2-2x}{x-1}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Viết lại: $y = \dfrac{x^2-2x}{x-1} = x - 1 - \dfrac{1}{x-1}$.

2. Sự biến thiên:

$y' = \dfrac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x+2}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2+1}{(x-1)^2} > 0$ với mọi $x \neq 1$.

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$; không có cực trị.

Tiệm cận:

- $\lim\limits_{x\to 1^-} y = +\infty$, $\lim\limits_{x\to 1^+} y = -\infty$ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y - (x-1)\right] = \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(-\dfrac{1}{x-1}\right) = 0$ nên $y = x-1$ là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $\parallel$ | $+$ | |
| $y$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $+\infty \;\|\; -\infty$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

3. Đồ thị:

- Giao với hai trục tọa độ: $y = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$, được các điểm $(0;0)$ và $(2;0)$.

Đồ thị gồm hai nhánh nằm hai phía tiệm cận đứng, nhận giao điểm hai tiệm cận $I(1;0)$ làm tâm đối xứng.

Đáp số