Giải Bài 1.14 trang 20 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi $x$ (cm) là cạnh đáy hình vuông, $h$ (cm) là chiều cao ($x>0, h>0$). Hộp không nắp gồm 1 đáy và 4 mặt bên nên diện tích bề mặt: $S = x^2 + 4xh = 108$, suy ra $h = \frac{108 - x^2}{4x}$. Điều kiện $h>0$ cho $0 < x < 6\sqrt{3}$. Thể tích: $V(x) = x^2 h = \frac{108x - x^3}{4}$ trên $(0; 6\sqrt{3})$. Ta có $V'(x) = \frac{108 - 3x^2}{4} = 0 \Leftrightarrow x = 6$ (do $x>0$). Vì $V'(x) > 0$ trên $(0;6)$ và $V'(x) < 0$ trên $(6; 6\sqrt{3})$, hàm đạt giá trị lớn nhất tại $x = 6$. Khi đó $h = \frac{108-36}{24} = 3$ (cm) và $V_{\max} = \frac{108\cdot 6 - 216}{4} = 108$ (cm$^3$). Kiểm tra: $S = 36 + 4\cdot 6\cdot 3 = 108$ cm$^2$ đúng. Vậy hộp có cạnh đáy 6 cm, chiều cao 3 cm, thể tích lớn nhất 108 cm$^3$.

Đáp số