Giải Bài 1.12 trang 20 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = 2x^3 - 6x + 3$ trên đoạn $[-1;2]$

Hàm số xác định và liên tục trên $[-1;2]$.

Ta có $y' = 6x^2 - 6$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 1$ (đều thuộc $[-1;2]$).

Tính giá trị:
- $y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 3 = -2 + 6 + 3 = 7$
- $y(1) = 2 - 6 + 3 = -1$
- $y(2) = 2\cdot 8 - 12 + 3 = 7$

Vậy $\max\limits_{[-1;2]} y = 7$ (tại $x = -1$ và $x = 2$); $\min\limits_{[-1;2]} y = -1$ (tại $x = 1$).

## b) $y = x^4 - 3x^2 + 2$ trên đoạn $[0;3]$

Hàm số liên tục trên $[0;3]$.

Ta có $y' = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3)$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x^2 = \dfrac{3}{2}$, tức $x = \dfrac{\sqrt 6}{2}$ (lấy nghiệm thuộc $[0;3]$).

Tính giá trị:
- $y(0) = 2$
- $y\left(\dfrac{\sqrt 6}{2}\right)$: với $x^2 = \dfrac{3}{2}$ thì $y = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - 3\cdot\dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} + 2 = -\dfrac{1}{4}$
- $y(3) = 81 - 27 + 2 = 56$

Vậy $\max\limits_{[0;3]} y = 56$ (tại $x = 3$); $\min\limits_{[0;3]} y = -\dfrac{1}{4}$ (tại $x = \dfrac{\sqrt 6}{2}$).

## c) $y = x - \sin 2x$ trên đoạn $[0;\pi]$

Hàm số liên tục trên $[0;\pi]$.

Ta có $y' = 1 - 2\cos 2x$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2}$. Với $2x \in [0; 2\pi]$ ta được $2x = \dfrac{\pi}{3}$ hoặc $2x = \dfrac{5\pi}{3}$, tức $x = \dfrac{\pi}{6}$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6}$ (đều thuộc $[0;\pi]$).

Tính giá trị:
- $y(0) = 0$
- $y\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{6} - \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt 3}{2} \approx -0{,}34$
- $y\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{5\pi}{6} - \sin\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{\sqrt 3}{2} \approx 3{,}48$
- $y(\pi) = \pi - \sin 2\pi = \pi \approx 3{,}14$

So sánh các giá trị:

$\max\limits_{[0;\pi]} y = \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{\sqrt 3}{2}$ (tại $x = \dfrac{5\pi}{6}$); $\min\limits_{[0;\pi]} y = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt 3}{2}$ (tại $x = \dfrac{\pi}{6}$).

## d) $y = (x^2 - x)e^x$ trên đoạn $[0;1]$

Hàm số liên tục trên $[0;1]$.

Ta có $y' = (2x - 1)e^x + (x^2 - x)e^x = e^x\left(x^2 + x - 1\right)$.

Vì $e^x > 0$ nên $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-1 + \sqrt 5}{2}$ (nhận, thuộc $[0;1]$) hoặc $x = \dfrac{-1 - \sqrt 5}{2}$ (loại).

Tính giá trị:
- $y(0) = 0$
- $y(1) = (1 - 1)e = 0$
- $y\left(\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}\right)$: đặt $x = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$, do $x^2 = 1 - x$ nên $x^2 - x = 1 - 2x = 2 - \sqrt 5$. Suy ra $y = (2 - \sqrt 5)\,e^{\frac{\sqrt 5 - 1}{2}} \approx -0{,}44$

Vậy $\max\limits_{[0;1]} y = 0$ (tại $x = 0$ và $x = 1$); $\min\limits_{[0;1]} y = (2 - \sqrt 5)\,e^{\frac{\sqrt 5 - 1}{2}} \approx -0{,}44$ (tại $x = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$).

Đáp số