Giải Bài 1.11 trang 20 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = x^4 - 2x^2 + 3$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $y$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $2$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

Với $y(-1) = y(1) = 1 - 2 + 3 = 2$ và $y(0) = 3$.

Khi $x \to \pm\infty$ thì $y \to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất.

Từ bảng biến thiên: $\min_{\mathbb{R}} y = 2$ tại $x = -1$ và $x = 1$.

## b) $y = x e^{-x}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.

Vì $e^{-x} > 0$ nên $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$; $y' > 0$ khi $x < 1$, $y' < 0$ khi $x > 1$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | |
| $y$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $\dfrac{1}{e}$ | $\searrow$ | $0$ |

Với $y(1) = 1\cdot e^{-1} = \dfrac{1}{e}$. Khi $x \to -\infty$ thì $y \to -\infty$; khi $x \to +\infty$ thì $y \to 0$.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất $\max_{\mathbb{R}} y = \dfrac{1}{e}$ tại $x = 1$, và không có giá trị nhỏ nhất (vì $y \to -\infty$).

## c) $y = x \ln x$

Tập xác định: $D = (0; +\infty)$.

Ta có $y' = \ln x + x\cdot\dfrac{1}{x} = \ln x + 1$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e}$; $y' < 0$ khi $0 < x < \dfrac{1}{e}$, $y' > 0$ khi $x > \dfrac{1}{e}$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $0$ | | $\dfrac{1}{e}$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $y$ | $0$ | $\searrow$ | $-\dfrac{1}{e}$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

Với $y\left(\dfrac{1}{e}\right) = \dfrac{1}{e}\ln\dfrac{1}{e} = \dfrac{1}{e}\cdot(-1) = -\dfrac{1}{e}$. Khi $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất.

Vậy $\min_{(0;+\infty)} y = -\dfrac{1}{e}$ tại $x = \dfrac{1}{e}$.

## d) $y = \sqrt{x-1} + \sqrt{3-x}$

Tập xác định: Cần $x - 1 \ge 0$ và $3 - x \ge 0 \Rightarrow D = [1; 3]$.

Với $x \in (1; 3)$: $y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} - \dfrac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3-x} = \sqrt{x-1} \Leftrightarrow 3 - x = x - 1 \Leftrightarrow x = 2$.

Tính giá trị tại $x = 2$ và hai đầu mút:

$$y(1) = \sqrt{0} + \sqrt{2} = \sqrt{2}, \quad y(3) = \sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}, \quad y(2) = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2.$$

So sánh: $2 > \sqrt{2}$. Vậy trên đoạn $[1;3]$:

$$\max_{[1;3]} y = 2 \text{ tại } x = 2; \qquad \min_{[1;3]} y = \sqrt{2} \text{ tại } x = 1 \text{ và } x = 3.$$

Đáp số