Giải Bài 1.10 trang 20 SGK Toán 12

Lời giải

a) y = -x² + 4x + 3, TXĐ ℝ. y' = -2x + 4 = 0 ⇔ x = 2; y' > 0 khi x < 2, y' < 0 khi x > 2 nên hàm đạt GTLN tại x = 2: y(2) = -4 + 8 + 3 = 7. Vì y → -∞ khi x → ±∞ nên không có GTNN.

b) y = x³ - 2x² + 1 trên [0; +∞). y' = 3x² - 4x = x(3x - 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4/3. Trên (0; 4/3): y' < 0; trên (4/3; +∞): y' > 0. y(0) = 1, y(4/3) = 64/27 - 32/9 + 1 = (64 - 96 + 27)/27 = -5/27. Hàm giảm rồi tăng nên GTNN = -5/27 tại x = 4/3; y → +∞ khi x → +∞ nên không có GTLN.

c) Trên (1; +∞): y = (x² - 2x + 3)/(x - 1) = ((x-1)² + 2)/(x-1) = (x-1) + 2/(x-1). Đặt t = x - 1 > 0: y = t + 2/t ≥ 2√2 theo AM–GM, dấu bằng khi t = √2 ⇔ x = 1 + √2. Kiểm tra bằng đạo hàm: y' = 1 - 2/(x-1)² = 0 ⇔ x = 1 + √2 (trên khoảng đang xét), y' đổi dấu từ âm sang dương. Vì y → +∞ khi x → 1⁺ và x → +∞ nên không có GTLN. Vậy GTNN = 2√2 tại x = 1 + √2.

d) Điều kiện 4x - 2x² ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2, TXĐ [0; 2]. y' = (4 - 4x)/(2√(4x - 2x²)) = 0 ⇔ x = 1; y' > 0 trên (0; 1), y' < 0 trên (1; 2). y(0) = 0, y(1) = √2, y(2) = 0. Vậy GTLN = √2 tại x = 1; GTNN = 0 tại x = 0 và x = 2.

Đáp số