Giải Hoạt động 2 trang 18 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tìm GTLN và GTNN từ đồ thị

Quan sát đồ thị Hình 1.16 trên đoạn $[-1;2]$:

- Điểm thấp nhất của đồ thị là $(-1;-2)$, nên $\min\limits_{[-1;2]} f(x) = -2$, đạt tại $x=-1$.
- Điểm cao nhất của đồ thị có tung độ bằng $1$ (tại $x=0$ và $x=2$), nên $\max\limits_{[-1;2]} f(x) = 1$, đạt tại $x=0$ và $x=2$.

b) Tính đạo hàm và tìm điểm $f'(x)=0$ trong khoảng $(-1;2)$

Ta có:
$$f'(x) = 3x^2 - 4x = x(3x-4).$$

Cho $f'(x)=0$:
$$x(3x-4)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc}\ x=\dfrac{4}{3}.$$

Cả hai giá trị $x=0$ và $x=\dfrac{4}{3}$ đều thuộc khoảng $(-1;2)$.

c) Tính giá trị tại hai đầu mút và tại các điểm ở câu b, rồi so sánh

Giá trị tại hai đầu mút:
$$f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 1 = -1 - 2 + 1 = -2,$$
$$f(2) = 2^3 - 2\cdot 2^2 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1.$$

Giá trị tại các điểm $f'(x)=0$:
$$f(0) = 0 - 0 + 1 = 1,$$
$$f\left(\dfrac{4}{3}\right) = \left(\dfrac{4}{3}\right)^3 - 2\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 + 1 = \dfrac{64}{27} - \dfrac{32}{9} + 1 = \dfrac{64 - 96 + 27}{27} = -\dfrac{5}{27} \approx -0{,}19.$$

Bốn giá trị thu được là: $f(-1)=-2$, $f(0)=1$, $f\left(\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{5}{27}$, $f(2)=1$.

- Số nhỏ nhất trong các giá trị này là $-2$, đúng bằng $\min\limits_{[-1;2]} f(x) = -2$.
- Số lớn nhất trong các giá trị này là $1$, đúng bằng $\max\limits_{[-1;2]} f(x) = 1$.

Kết luận (các bước tìm GTLN, GTNN trên đoạn $[a;b]$):
1. Tính $f'(x)$ và tìm các điểm $x_1, x_2, \dots$ thuộc $(a;b)$ mà $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
2. Tính các giá trị $f(a),\ f(x_1),\ f(x_2),\dots,\ f(b)$.
3. Số lớn nhất trong các giá trị đó là $\max\limits_{[a;b]} f(x)$; số nhỏ nhất là $\min\limits_{[a;b]} f(x)$.

Đáp số