Giải Luyện tập 1 trang 18 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y=\sqrt{2x-x^2}$

Tập xác định: Hàm số xác định khi $2x-x^2\ge 0 \Leftrightarrow x(2-x)\ge 0 \Leftrightarrow 0\le x\le 2$.

Vậy $D=[0;2]$.

Đạo hàm: Với $x\in(0;2)$:
$$y'=\dfrac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}.$$

$y'=0 \Leftrightarrow x=1$.

Bảng biến thiên trên $[0;2]$:

| $x$ | $0$ | | $1$ | | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | \| | $+$ | $0$ | $-$ | \| |
| $y$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $0$ |

Ta có $y(0)=0$, $y(1)=\sqrt{2\cdot1-1^2}=1$, $y(2)=0$.

Kết luận: $\max\limits_{[0;2]} y = 1$ tại $x=1$; $\ \min\limits_{[0;2]} y = 0$ tại $x=0$ hoặc $x=2$.

## b) $y=-x+\dfrac{1}{x-1}$ trên khoảng $(1;+\infty)$

Đạo hàm: Với mọi $x\in(1;+\infty)$:
$$y'=-1-\dfrac{1}{(x-1)^2}.$$

Vì $(x-1)^2>0$ nên $\dfrac{1}{(x-1)^2}>0$, do đó $y'=-1-\dfrac{1}{(x-1)^2}<0$ với mọi $x\in(1;+\infty)$. Hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty)$, không có điểm tới hạn.

Giới hạn tại hai đầu mút:
$$\lim_{x\to 1^+}\left(-x+\dfrac{1}{x-1}\right)=-1+(+\infty)=+\infty,$$
$$\lim_{x\to +\infty}\left(-x+\dfrac{1}{x-1}\right)=-\infty+0=-\infty.$$

Bảng biến thiên:

| $x$ | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $y'$ | \| | $-$ | |
| $y$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $-\infty$ |

Hàm số nghịch biến, không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới trên khoảng mở $(1;+\infty)$.

Kết luận: Trên $(1;+\infty)$, hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Đáp số