Giải Bài 1.39 trang 44 SGK Toán 12

Lời giải

Nhận xét từ đồ thị (Hình 1.38):

- Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$.
- Đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$ (đi qua gốc $O$).

Do có tiệm cận xiên nên hàm số phải là phân thức bậc hai trên bậc nhất $\Rightarrow$ loại A và B (đáp án B có tiệm cận ngang $y=2$, không phải tiệm cận xiên; đáp án A tuy có tiệm cận xiên $y=x$ nhưng ta sẽ kiểm tra thêm ở dưới).

Xét đáp án C: $y=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}$.

Chia đa thức: $\dfrac{x^2-x+1}{x+1}=x-2+\dfrac{3}{x+1}$.

Tiệm cận xiên là $y=x-2$ (không phải $y=x$) $\Rightarrow$ loại C.

Xét đáp án D: $y=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$.

Chia đa thức: $\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}$.

- Tiệm cận đứng: $x=-1$ (vì mẫu bằng $0$, tử bằng $1\neq0$). ✓
- Tiệm cận xiên: $y=x$ (vì $\dfrac{1}{x+1}\to 0$ khi $x\to\pm\infty$). ✓

Phù hợp với đồ thị.

Kiểm tra thêm bằng điểm và cực trị của đáp án D:

$y'=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}$. Cho $y'=0 \Leftrightarrow (x+1)^2=1 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-2$.

- Tại $x=0$: $y=0+\dfrac{1}{0+1}=1$ $\Rightarrow$ điểm cực tiểu $(0;1)$, đúng như mô tả nhánh phải có cực tiểu quanh $(0;1)$. ✓
- Tại $x=-2$: $y=-2+\dfrac{1}{-2+1}=-2-1=-3$ $\Rightarrow$ điểm cực đại $(-2;-3)$, đúng với đường nét đứt tại $x=-2$ ứng với $y=-3$. ✓

(Đối chiếu: đáp án A $y=x-\dfrac{1}{x+1}$ tại $x=-2$ cho $y=-2+1=-1\neq-3$, và tại $x=0$ cho $y=-1$, không khớp đồ thị nên loại.)

Vậy đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$.

Chọn đáp án D.

Đáp số