Giải Bài 1.37 trang 44 SGK Toán 12
Đề bài
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1;3\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
B. Đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
C. Đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
D. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Mô tả hình bằng lời
Bảng biến thiên của $f(x)$:
| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $2$ | | $3$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | | $-$ | ‖ | $-$ | $0$ | $+$ | ‖ | $+$ | |
| $f(x)$ | $1$ | giảm | $-1$ ‖ $7$ | giảm | $5$ | tăng | $+\infty$ ‖ $-4$ | tăng | $-1$ |
Cụ thể: Trên $(-\infty;1)$: $f'<0$, $f$ giảm từ $1$ xuống $-1$. Tại $x=1$ gián đoạn (nhánh phải bắt đầu ở $7$). Trên $(1;2)$: $f'<0$, $f$ giảm từ $7$ xuống $5$. Tại $x=2$: $f'=0$, $f=5$ (cực tiểu). Trên $(2;3)$: $f'>0$, $f$ tăng lên $+\infty$. Tại $x=3$ gián đoạn (nhánh phải bắt đầu ở $-4$). Trên $(3;+\infty)$: $f'>0$, $f$ tăng từ $-4$ lên $-1$.
Lời giải
Nhắc lại kiến thức:
- Đường thẳng $y=y_0$ là tiệm cận ngang nếu $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=y_0$ hoặc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=y_0$.
- Đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong các giới hạn một bên $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$ hoặc $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$.
Đọc bảng biến thiên:
Xét phương án A và B (tiệm cận ngang):
- Khi $x\to-\infty$: $f(x)\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang $\Rightarrow$ A đúng.
- Khi $x\to+\infty$: $f(x)\to -1$ nên $y=-1$ là tiệm cận ngang $\Rightarrow$ B đúng.
Xét phương án C (đường thẳng $x=3$):
- Khi $x\to 3^-$ (trên khoảng $(2;3)$, $f$ tăng): $\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)=+\infty$.
- Vì có một giới hạn một bên bằng $+\infty$ nên $x=3$ là tiệm cận đứng $\Rightarrow$ C đúng.
Xét phương án D (đường thẳng $x=1$):
- Khi $x\to 1^-$ (trên khoảng $(-\infty;1)$, $f$ giảm xuống $-1$): $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-1$ (hữu hạn).
- Khi $x\to 1^+$ (trên khoảng $(1;2)$, $f$ giảm từ $7$): $\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=7$ (hữu hạn).
- Cả hai giới hạn một bên đều hữu hạn (không bằng $\pm\infty$), nên $x=1$ không phải là tiệm cận đứng $\Rightarrow$ D sai.
Kết luận: Khẳng định sai là D.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.