Giải Câu hỏi trang 16 SGK Toán 12

Lời giải

Lập hàm thể tích

Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh của mỗi hình vuông bị cắt ở bốn góc, với điều kiện $0 < x < 30$.

Sau khi gập, chiếc hộp là hình hộp chữ nhật không nắp có:
- Đáy là hình vuông cạnh $(60 - 2x)$ cm;
- Chiều cao $x$ cm.

Thể tích của hộp là:
$$V(x) = x(60 - 2x)^2 \quad \text{với } x \in (0; 30).$$

Khai triển:
$$V(x) = x(3600 - 240x + 4x^2) = 4x^3 - 240x^2 + 3600x.$$

Tìm giá trị lớn nhất

Đạo hàm:
$$V'(x) = 12x^2 - 480x + 3600 = 12(x^2 - 40x + 300) = 12(x - 10)(x - 30).$$

Giải $V'(x) = 0$ trên khoảng $(0; 30)$:
$$V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10 \ (\text{nhận}) \text{ hoặc } x = 30 \ (\text{loại vì không thuộc khoảng}).$$

Lập bảng biến thiên trên $(0; 30)$:
- Với $x \in (0; 10)$: $V'(x) > 0$, hàm số đồng biến;
- Với $x \in (10; 30)$: $V'(x) < 0$, hàm số nghịch biến.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 10$.

Tính thể tích lớn nhất
$$V(10) = 10 \cdot (60 - 2\cdot 10)^2 = 10 \cdot 40^2 = 10 \cdot 1600 = 16000 \ (\text{cm}^3).$$

Kết luận

Độ dài cạnh của các hình vuông bị cắt là $x = 10$ cm thì thể tích chiếc hộp lớn nhất, bằng $16000 \text{ cm}^3$.

Đáp số