Giải Bài 1.9 trang 15 SGK Toán 12
Đề bài
Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số
$$f(t) = \dfrac{5\,000}{1 + 5e^{-t}}, \ t \geq 0,$$
trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Lời giải
Tốc độ bán hàng là g(t) = f'(t). Với f(t) = 5000/(1+5e^{-t}), ta có f'(t) = 5000·5e^{-t}/(1+5e^{-t})^2 = 25000e^{-t}/(1+5e^{-t})^2 > 0 với mọi t ≥ 0. Để tìm max của f'(t), tính f''(t): với u = 25000e^{-t}, v = (1+5e^{-t})^2, u' = -25000e^{-t}, v' = -10e^{-t}(1+5e^{-t}), suy ra f''(t) = 25000e^{-t}[-(1+5e^{-t})+10e^{-t}]/(1+5e^{-t})^3 = 25000e^{-t}(5e^{-t}-1)/(1+5e^{-t})^3. Vì 25000e^{-t} > 0 và (1+5e^{-t})^3 > 0, dấu của f''(t) trùng dấu 5e^{-t}-1: f''(t) = 0 ⟺ e^{-t} = 1/5 ⟺ t = ln 5; f'' > 0 trên [0; ln 5) và f'' < 0 trên (ln 5; +∞). Vậy f'(t) đồng biến rồi nghịch biến, đạt giá trị lớn nhất tại t = ln 5 ≈ 1,61 năm. Khi đó e^{-t} = 1/5, mẫu 1+5e^{-t} = 2, nên f'(ln 5) = 25000·(1/5)/4 = 1250 sản phẩm/năm (đúng lúc doanh số bằng nửa mức bão hòa: f(ln 5) = 2500). Kết luận: sau khoảng t = ln 5 ≈ 1,61 năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.