Giải Bài 1.5 trang 14 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Số dân vào năm 2000 và năm 2015

Năm 2000 ứng với $t = 0$:
$$N(0) = \dfrac{25\cdot 0 + 10}{0 + 5} = \dfrac{10}{5} = 2 \ (\text{nghìn người}).$$

Năm 2015 ứng với $t = 15$:
$$N(15) = \dfrac{25\cdot 15 + 10}{15 + 5} = \dfrac{385}{20} = 19{,}25 \ (\text{nghìn người}).$$

Vậy năm 2000 thị trấn có $2$ nghìn người (tức $2000$ người) và năm 2015 có $19{,}25$ nghìn người (tức $19\,250$ người).

## b) Đạo hàm, giới hạn và giải thích

Tính đạo hàm (theo quy tắc đạo hàm của thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$), với $u = 25t + 10$, $v = t + 5$:
$$N'(t) = \dfrac{25(t+5) - (25t+10)\cdot 1}{(t+5)^2} = \dfrac{25t + 125 - 25t - 10}{(t+5)^2} = \dfrac{115}{(t+5)^2}.$$

Vì $(t+5)^2 > 0$ với mọi $t \ge 0$ nên $N'(t) = \dfrac{115}{(t+5)^2} > 0$ với mọi $t \ge 0$. Do đó hàm số $N(t)$ đồng biến trên $[0; +\infty)$, nghĩa là số dân của thị trấn luôn tăng.

Tính giới hạn khi $t \to +\infty$:
$$\lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{25t + 10}{t + 5} = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{25 + \dfrac{10}{t}}{1 + \dfrac{5}{t}} = 25.$$

Giải thích: Ta có thể viết
$$N(t) = \dfrac{25t + 10}{t + 5} = \dfrac{25(t+5) - 115}{t+5} = 25 - \dfrac{115}{t+5} < 25 \quad \text{với mọi } t \ge 0.$$

Như vậy số dân $N(t)$ luôn tăng (do $N'(t) > 0$) và tiến dần tới $25$ nghìn người khi thời gian tăng vô hạn, nhưng luôn nhỏ hơn $25$. Vì thế số dân của thị trấn luôn tăng nhưng không bao giờ vượt quá ngưỡng $25$ nghìn người.

Đáp số