Giải Bài 1.34 trang 43 SGK Toán 12

Lời giải

Xét hàm số $y = (x-2)^2 e^x$ trên đoạn $[1;3]$.

Bước 1. Tính đạo hàm.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:
$$y' = \big[(x-2)^2\big]' e^x + (x-2)^2 (e^x)' = 2(x-2)e^x + (x-2)^2 e^x.$$

Đặt nhân tử chung $e^x(x-2)$:
$$y' = e^x (x-2)\big[2 + (x-2)\big] = e^x (x-2)\, x = x(x-2)e^x.$$

Bước 2. Tìm nghiệm của $y'$ trên $[1;3]$.

Vì $e^x > 0$ với mọi $x$ nên $y' = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Trên đoạn $[1;3]$ chỉ nhận $x = 2$ (loại $x = 0$ vì không thuộc đoạn).

Bước 3. Tính giá trị hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn.

- $y(1) = (1-2)^2 e^1 = 1\cdot e = e.$
- $y(2) = (2-2)^2 e^2 = 0.$
- $y(3) = (3-2)^2 e^3 = 1\cdot e^3 = e^3.$

Bước 4. So sánh và kết luận.

Vì $e^3 > e > 0$ nên giá trị lớn nhất của hàm số trên $[1;3]$ là
$$\max_{[1;3]} y = y(3) = e^3.$$

Chọn đáp án B.

Đáp số