Giải Bài 1.33 trang 43 SGK Toán 12

Lời giải

Tập xác định: Hàm số $y = x^2\ln x$ xác định khi $x > 0$, nên $D = (0; +\infty)$.

Tính đạo hàm:
$$y' = (x^2)'\ln x + x^2(\ln x)' = 2x\ln x + x^2\cdot\dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1).$$

Tìm nghiệm của $y' = 0$: Vì $x > 0$ nên
$$y' = 0 \Leftrightarrow 2\ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x = -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}.$$

Xét dấu $y'$: Do $x > 0$, dấu của $y'$ cùng dấu với $2\ln x + 1$.
- Khi $0 < x < \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ thì $2\ln x + 1 < 0$, suy ra $y' < 0$: hàm số nghịch biến.
- Khi $x > \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ thì $2\ln x + 1 > 0$, suy ra $y' > 0$: hàm số đồng biến.

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$.

Tính giá trị cực tiểu: Tại $x = \dfrac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\frac{1}{2}}$ ta có $x^2 = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$ và $\ln x = -\dfrac{1}{2}$, do đó
$$y_{CT} = x^2\ln x = \dfrac{1}{e}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e}.$$

Kết luận: Giá trị cực tiểu của hàm số là $-\dfrac{1}{2e}$. Chọn đáp án C.

Đáp số