Giải Bài 1.32 trang 43 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại: Hàm số đạt cực trị tại điểm mà qua đó đạo hàm $y'$ đổi dấu (hoặc điểm mà tại đó hàm liên tục và đạo hàm đổi dấu). Ta xét từng hàm số.

A. $y = |x|$

Ta có $y = \begin{cases} x & \text{khi } x \ge 0 \\ -x & \text{khi } x < 0 \end{cases}$

Với $x > 0$ thì $y' = 1 > 0$; với $x < 0$ thì $y' = -1 < 0$. Hàm số liên tục tại $x = 0$ và $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = 0$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ (với $y_{CT} = 0$). Vậy A có cực trị.

B. $y = x^4$

Ta có $y' = 4x^3$. Cho $y' = 0 \Rightarrow x = 0$. Với $x < 0$ thì $y' < 0$; với $x > 0$ thì $y' > 0$, nên $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = 0$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$. Vậy B có cực trị.

C. $y = -x^3 + x$

Ta có $y' = -3x^2 + 1$. Cho $y' = 0 \Rightarrow x^2 = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Đây là tam thức bậc hai theo $x$ có hai nghiệm phân biệt nên $y'$ đổi dấu khi qua mỗi nghiệm. Hàm số có cực đại và cực tiểu. Vậy C có cực trị.

D. $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Ta có:
$$y' = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0 \quad \forall x \ne -1.$$

Vì $y' > 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định (không có điểm nào $y' = 0$ và $y'$ không đổi dấu), nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị.

Kết luận: Hàm số không có cực trị là hàm số ở đáp án D.

Đáp số