Giải Bài 1.31 trang 43 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại kiến thức: Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và $f'(x)\le 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Ta xét từng đáp án.

A. $y=-x^3+3x^2-9x$ xác định trên $\mathbb{R}$.

$y'=-3x^2+6x-9=-3\left(x^2-2x+3\right)=-3\left[(x-1)^2+2\right]$.

Vì $(x-1)^2+2>0$ với mọi $x$ nên $y'<0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ A đúng.

B. $y=-x^3+x+1$ có $y'=-3x^2+1$.

$y'=0\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$; $y'$ đổi dấu nên hàm số không đơn điệu trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ B loại.

C. $y=\dfrac{x-1}{x-2}$ không xác định tại $x=2$, tức là không xác định trên toàn $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ C loại.

D. $y=2x^2+3x+2$ có $y'=4x+3$; $y'$ đổi dấu qua $x=-\dfrac{3}{4}$ nên hàm số không đơn điệu trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ D loại.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Đáp số