Giải Bài 1.29 trang 42 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Tìm $x$ theo $p$, tập xác định và số sản phẩm khi $p=240$

Từ công thức hàm cầu:
$$p = \dfrac{354}{1 + 0{,}01x}, \quad x \ge 0.$$

Vì $p > 0$, nhân hai vế với $(1+0{,}01x)$:
$$p\,(1 + 0{,}01x) = 354 \;\Rightarrow\; 1 + 0{,}01x = \dfrac{354}{p}.$$

Suy ra:
$$0{,}01x = \dfrac{354}{p} - 1 = \dfrac{354 - p}{p} \;\Rightarrow\; \boxed{\,x = \dfrac{100(354 - p)}{p}\,}.$$

Tập xác định. Cần $p > 0$ (mẫu khác 0 và $p$ là giá bán) và điều kiện $x \ge 0$:
$$x = \dfrac{100(354-p)}{p} \ge 0 \;\Leftrightarrow\; 354 - p \ge 0 \;\Leftrightarrow\; p \le 354.$$

Vậy tập xác định của hàm $x = x(p)$ là:
$$D = (0\,;\,354\,].$$

Khi $p = 240$ (nghìn đồng):
$$x = \dfrac{100(354 - 240)}{240} = \dfrac{100 \cdot 114}{240} = \dfrac{11400}{240} = 47{,}5.$$

Vậy bán được $47{,}5$ đơn vị sản phẩm.

## b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của $x = x(p)$

Viết lại: $x(p) = \dfrac{100(354-p)}{p} = \dfrac{35400}{p} - 100$ trên $D = (0\,;\,354]$.

1. Đạo hàm:
$$x'(p) = -\dfrac{35400}{p^2} < 0 \quad \text{với mọi } p \in (0\,;\,354].$$

Do đó hàm số nghịch biến trên $(0\,;\,354]$.

2. Giới hạn và tiệm cận:
$$\lim_{p \to 0^+} x(p) = \lim_{p \to 0^+}\left(\dfrac{35400}{p} - 100\right) = +\infty.$$

Vậy đường thẳng $p = 0$ (trục tung) là tiệm cận đứng của đồ thị. Tại đầu mút $p = 354$:
$$x(354) = \dfrac{35400}{354} - 100 = 100 - 100 = 0.$$

3. Bảng biến thiên:

| $p$ | $0$ $\quad\longrightarrow\quad$ $354$ |
|---|---|
| $x'(p)$ | $-$ |
| $x(p)$ | $+\infty \;\searrow\; 0$ |

4. Đồ thị: Đồ thị là một nhánh hypebol nằm trong góc phần tư thứ nhất (vì $p>0,\ x\ge 0$): đi xuống liên tục từ rất cao (khi $p$ gần $0$) và cắt trục hoành tại điểm $(354\,;\,0)$; nhận trục tung $p=0$ làm tiệm cận đứng.

```
x
|
|*\
| \
| \_
| \__
| \____
| \_______
+----------------------*----- p
0 354
```

Kết luận từ đồ thị:

- Vì hàm số nghịch biến trên $(0\,;\,354]$ nên khi giá bán $p$ tăng thì số lượng sản phẩm bán được $x$ giảm (giá càng cao thì bán được càng ít) — phù hợp quy luật cầu thực tế.

- $\lim\limits_{p \to 0^+} x(p) = +\infty$ có ý nghĩa thực tiễn: khi giá bán $p$ giảm dần về $0$ (hàng gần như được cho không), thì số lượng sản phẩm bán được (nhu cầu) tăng lên vô hạn, tức lớn tuỳ ý.

Đáp số